NMS - Die Mathematik-Homepage von Norbert Säumel bzw. Norbert M. Säumel

Für die Erstellung eines magischen Zahlenquadrates mit einer vorgegebenen Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme kann - in Anlehnung an die Kandidaten-Methode - das Basisquadrat

	1	12	7	20
11	8		2	21
5	10	3		18
4		6	9	19
20	19	21	18

prinzipiell mit jeder natürlichen Zahl von 1 bis [Summe/22] multipliziert und mit Hilfe der Subtraktionen Summe - 20. Hilfszahl, Summe - 21. Hilfszahl, Summe - 18. Hilfszahl sowie Summe - 19. Hilfszahl erstellt werden.
Für die - in der Sendung "Wetten, dass ... ?" vorgegebene - Summe 216.784 kann daher maximal die Hilfszahl 9853 verwendet werden, wodurch sich das magische Quadrat

				216.784
19.724	9.853	118.236	68.971	216.784
108.383	78.824	9.871	19.706	216.784
49.265	98.530	29.559	39.430	216.784
39.412	29.577	59.118	88.677	216.784
216.784	216.784	216.784	216.784	216.784

welches aus lauter verschiedenen Werten besteht, ergibt.
Hat jedoch eine vorgegebene Summe (mindestens) einen (natürlichen) Teiler x mit der Eigenschaft 21 < x < 34, so führt die Verwendung der Hilfszahl (Summe/x) zwar zu einem magischen Quadrat, jedoch besitzt dieses nicht 16 verschiedene Feldeinträge.
Da die Zahl 216.784 die Primfaktorenzerlegung 2⁴.17.797 besitzt, gibt es keinen (natürlichen) Teiler x mit der Eigenschaft 21 < x < 34.
Es führen also alle 9853 (natürlichen) Hilfszahlen zu einem magischen Quadrat mit verschiedenen Feldeintrgen.
Hingegen besitzt die Zahl 216.783 aufgrund der Primfaktorenzerlegung 3³.7.31.37 die beiden (kritischen) Teiler x₁ = 27 und x₂ = 31.
Die Verwendung der beiden Hilfszahlen (Summe/x₁) = 8029 und (Summe/x₂) = 6993 liefert daher die magischen Quadrate:

				216.783
56.203	8.029	96.348	56.203	216.783
88.319	64.232	48.174	16.058	216.783
40.145	80.290	24.087	72.261	216.783
32.116	64.232	48.174	72.261	216.783
216.783	216.783	216.783	216.783	216.783

und

				216.783
76.923	6.993	83.916	48.951	216.783
76.923	55.944	69.930	13.986	216.783
34.965	69.930	20.979	90.909	216.783
27.972	83.916	41.958	62.937	216.783
216.783	216.783	216.783	216.783	216.783

In jedem dieser beiden magischen Quadrate gibt es mindestens zwei Felder mit einem gleichen Feldeintrag.
Um dies zu vermeiden, macht man sich folgende Überlegung zunutze:
Dividiert man die beiden letzten magischen Quadrate durch ihre jeweiligen Hilfszahlen, so erhält man die beiden Quadrate

				27
7	1	12	7	27
11	8	6	2	27
5	10	3	9	27
4	8	6	9	27
27	27	27	27	27

und

				31
11	1	12	7	31
11	8	10	2	31
5	10	3	13	31
4	12	6	9	31
31	31	31	31	31

Das erste magische Quadrate besitzt als Summenzahl den Teiler x₁ = 27, das zweite den Teiler x₂ = 31.
Sollen jedoch in allen Feldern verschiedene Werte enthalten sein, so muss die Summenzahl eines magischen Quadrates (der Grösse 4 x 4) mindestens 34 sein. Dies bedeutet, daß die Hilfszahl für ein magisches Quadrat mit 16 verschiedenen Werten maximal [Summe/34] sein kann.
Um also zu einer vorgegebenen Summenzahl ein magisches Quadrat mit lauter verschiedenen Feldeinträgen zu entwickeln, kann das am Beginn dieser Folge angeführte Basisquadrat mit jeder natürlichen Zahl von 1 bis [Summe/34] multipliziert und anschließend mit Hilfe der Differenzen Summe - 20. Hilfszahl, Summe - 21. Hilfszahl, Summe - 18. Hilfszahl sowie Summe - 19. Hilfszahl erstellt werden.

Übrigens: Legt man sich von vornherein auf eine bestimmte Hilfszahl fest, so führen genau die zwölf Summenwerte 22. Hilfszahl, 23. Hilfszahl, ... , 33. Hilfszahl zu magischen Quadraten, bei denen mindestens zwei Felder einen gleichen Wert besitzen.
Für die in der Sendung "Wetten, dass ...?" verwendete Hilfszahl 4.096 lauten somit die zwölf "kritischen" Summenzahlen: 90.112, 94.208, 98.304, 102.400, 106.496, 110.592, 114.688, 118.784, 122.880, 126.976, 131.072 und 135.168.