NMS - Die Mathematik-Homepage von Norbert Säumel bzw. Norbert M. Säumel
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Sonntag, 20.05.2012, 13:47 Uhr
SCHULE
TAGESTIP
DIE TOP 10 Stellen Sie sich folgende Situation vor:
Ein Arbeitgeber bietet Ihnen ein Jahresgehalt von € 10.000,-- und eine regelmäßige Gehaltssteigerung an. Dabei können Sie wählen, ob sie
mehr erhalten.
Für welche Variante würden Sie sich entscheiden ?
Die meisten Menschen tendieren vermutlich aufgrund der Überlegung
2. € 250,-- < 1. € 1.000,--
zu Variante A.
Daß jedoch Variante B letztendlich mehr Gehalt ermöglicht, zeigt die folgende Gegenüberstellung:
Variante B liefert offensichtlich bereits nach dem ersten Jahr eine höhere Summe aller ausbezahlten Gehälter.
Und wie sieht die Entscheidung aus, wenn das Gehalt bei Variante B nur um € 200,-- angehoben wird ?
Aufgrund der bisherigen Ausführungen ist man dazu geneigt, auch in diesem Fall der Variante B den Vorzug zu geben. Eine Adaptierung der oberen Tabelle liefert für die ersten beiden Jahre:
Auch in diesem Fall ist offensichtlich Variante B bereits nach dem ersten Jahr die bessere Wahl.
Rechnet man jedoch weiter, so erhält man für die Folgejahre:
Die Summe aller erhaltenen Gehälter ist demnach während des dritten Jahres bei beiden Varianten gleich hoch und ab dem vollendeten siebten Semester bei Variante A besser.
Es ist also in diesem Falle klüger, sich für Variante A zu entscheiden.
Dies wirft die Frage auf, wie hoch die regelmäßige Gehaltssteigerung bei Variante B (mindestens) sein muss, um ab dem vollendeten ersten Arbeitsjahr "auf alle Fälle" eine höhere Gehaltssumme zu kassieren.
Bezeichnet man mit x die Zahl der Dienstjahre, so erhält man - dank der Summenformel für eine endlich arithmetische Reihe - für die Gehaltssumme bei Variante A
und bei Variante B
Setzt man beide Gehaltssummen nach x Jahren gleich, so erhält man - wie bereits aus obiger Gegenüberstellung ersichtlich - für x den Wert 3.
Um nun zu einer Erhöhung von € a,-- bei Variante A jenen (Mindest-)Betrag von € b,--, ab dem Variante B mit absoluter Sicherheit ab dem vollendeten ersten Dienstjahr eine höhere Gesamtsumme ermöglicht, zu erhalten, erstellt man den Ansatz
10000.x + a.[x.(x - 1)]/2 < 10000.x + b.x.(2x - 1).
Dies liefert nach Umformen für b die Bedingung
b > a.(x - 1)/[2.(2x - 1)].
Damit nun die Gehaltssummenkurve der Variante B in keinem Jahr x von jener der Variante A "eingeholt" wird, betrachtet man die Folge
a(x - 1)/[2.(2x - 1)]
für x gegen unendlich:
Da die einzelnen Folgenglieder dank der (trivialen) Beziehungen
- 2a < 0 bzw. x < 2x
streng monoton wachsend und zugleich (etwa durch0,5.a) nach oben beschränkt sind, besitzt diese Folge - unter Zuhilfenahme der Regel von de L´Hospital - den Grenzwert a/4 .
Dies bedeutet:
Einer Gehaltserhöhung von€ a,-- pro Jahr ist genau dann eine Gehaltserhöhung von € b,-- pro Semester vorzuziehen, wenn b mindestens den Wert a/4 besitzt.
Das Säulendiagramm der
zeigt das Verhalten der beiden Gehaltssummen (die roten Säulen entsprechen der Variante A, die blauen der Variante B) für verschiedene Parameter der Variablen a und b in den ersten acht Dienstjahren.
Ein Arbeitgeber bietet Ihnen ein Jahresgehalt von € 10.000,-- und eine regelmäßige Gehaltssteigerung an. Dabei können Sie wählen, ob sie
a. |
b. |
|
nach jedem Jahr |
nach jedem Semester |
|
um € 1.000,-- |
um € 250,-- |
mehr erhalten.
Für welche Variante würden Sie sich entscheiden ?
Die meisten Menschen tendieren vermutlich aufgrund der Überlegung
zu Variante A.
Daß jedoch Variante B letztendlich mehr Gehalt ermöglicht, zeigt die folgende Gegenüberstellung:
Semester |
Variante A |
Variante B |
||
| Höhe | Summe | Höhe | Summe | |
| 1 | € 5.000,-- |
€ 5.000,-- |
€ 5.000,-- |
€ 5.000,-- |
| 2 | € 5.000,-- |
€ 10.000,-- |
€ 5.250,-- |
€ 10.250,-- |
| 3 | € 5.500,-- |
€ 15.500,-- |
€ 5.500,-- |
€ 15.750,-- |
| 4 | € 5.500,-- |
€ 21.000,-- |
€ 5.750,-- |
€ 21.500,-- |
| 5 | € 6.000,-- |
€ 27.000,-- |
€ 6.000,-- |
€ 27.500,-- |
| 6 | € 6.000,-- |
€ 33.000,-- |
€ 6.250,-- |
€ 33.750,-- |
Variante B liefert offensichtlich bereits nach dem ersten Jahr eine höhere Summe aller ausbezahlten Gehälter.
Und wie sieht die Entscheidung aus, wenn das Gehalt bei Variante B nur um € 200,-- angehoben wird ?
Aufgrund der bisherigen Ausführungen ist man dazu geneigt, auch in diesem Fall der Variante B den Vorzug zu geben. Eine Adaptierung der oberen Tabelle liefert für die ersten beiden Jahre:
Semester |
Variante A
|
Variante B
|
||
| Höhe | Summe | Höhe | Summe | |
| 1 | € 5.000,-- |
€ 5.000,-- |
€ 5.000,-- |
€ 5.000,-- |
| 2 | € 5.000,-- |
€ 10.000,-- |
€ 5.200,-- |
€ 10.200,-- |
| 3 | € 5.500,-- |
€ 15.500,-- |
€ 5.400,-- |
€ 15.600,-- |
| 4 | € 5.500,-- |
€ 21.000,-- |
€ 5.600,-- |
€ 21.200,-- |
Auch in diesem Fall ist offensichtlich Variante B bereits nach dem ersten Jahr die bessere Wahl.
Rechnet man jedoch weiter, so erhält man für die Folgejahre:
Semester |
Variante A
|
Variante B
|
||
| Höhe | Summe | Höhe | Summe | |
| 5 | € 6.000,-- |
€ 27.000,-- |
€ 5.800,-- |
€ 27.000,-- |
| 6 | € 6.000,-- |
€ 33.000,-- |
€ 6.000,-- |
€ 33.000,-- |
| 7 | € 6.500,-- |
€ 39.500,-- |
€ 6.200,-- |
€ 39.200,-- |
| 8 | € 6.500,-- |
€ 46.000,-- |
€ 6.400,-- |
€ 45.600,-- |
Die Summe aller erhaltenen Gehälter ist demnach während des dritten Jahres bei beiden Varianten gleich hoch und ab dem vollendeten siebten Semester bei Variante A besser.
Es ist also in diesem Falle klüger, sich für Variante A zu entscheiden.
Dies wirft die Frage auf, wie hoch die regelmäßige Gehaltssteigerung bei Variante B (mindestens) sein muss, um ab dem vollendeten ersten Arbeitsjahr "auf alle Fälle" eine höhere Gehaltssumme zu kassieren.
Bezeichnet man mit x die Zahl der Dienstjahre, so erhält man - dank der Summenformel für eine endlich arithmetische Reihe - für die Gehaltssumme bei Variante A
| Jahr | Gehaltssumme |
| 1 | 10000 |
| 2 | 21000 = 10000.2 + 1000.1 |
| 3 | 33000 = 10000.3 + 1000 + 2000 = 10000.3 + 1000.(1 + 2) |
| 4 |
46000 = 10000.4 + 1000 + 2000 + 3000 46000 = 10000.4 + 1000.(1 + 2 + 3) |
| x | 10000.x + 1000.[1 + 2 + ... + (x - 1)] = 10000.x + 1000.[x.(x - 1)]/2 |
und bei Variante B
| Jahr | Gehaltssumme |
| 1 | 10200 = 10000.1 + 200.1 |
| 2 | 21200 = 10000.2 + 200 + 1000 = 10000.2 + 200.(1 + 5) |
| 3 | 33000 = 10000.3 + 200 + 1000 + 1800 = 10000.3 + 200.(1 + 5 + 9) |
| 4 | 45600 = 10000.4 + 200 + 1000 + 1800 + 2600 45600 = 10000.4 + 200.(1 + 5 + 9 + 13) |
| x | 10000.x + 200.{1 + 5 + ... + [4.(x - 1)+1]} = 10000.x + 200.x.(2x - 1) |
Setzt man beide Gehaltssummen nach x Jahren gleich, so erhält man - wie bereits aus obiger Gegenüberstellung ersichtlich - für x den Wert 3.
Um nun zu einer Erhöhung von € a,-- bei Variante A jenen (Mindest-)Betrag von € b,--, ab dem Variante B mit absoluter Sicherheit ab dem vollendeten ersten Dienstjahr eine höhere Gesamtsumme ermöglicht, zu erhalten, erstellt man den Ansatz
10000.x + a.[x.(x - 1)]/2 < 10000.x + b.x.(2x - 1).
Dies liefert nach Umformen für b die Bedingung
Damit nun die Gehaltssummenkurve der Variante B in keinem Jahr x von jener der Variante A "eingeholt" wird, betrachtet man die Folge
für x gegen unendlich:
Da die einzelnen Folgenglieder dank der (trivialen) Beziehungen
streng monoton wachsend und zugleich (etwa durch
Dies bedeutet:
Einer Gehaltserhöhung von
Das Säulendiagramm der
zeigt das Verhalten der beiden Gehaltssummen (die roten Säulen entsprechen der Variante A, die blauen der Variante B) für verschiedene Parameter der Variablen a und b in den ersten acht Dienstjahren.
Die Anregung zu diesem Artikel lieferte der Beitrag
"Das Jobangebot"
aus der WDR-Reihe
vom 17.10.2006.
© 2006-12 by NMS - Norbert M. Säumel
Req: 51054
IP: 38.107.179.221