NMS - Die Mathematik-Homepage von Norbert Säumel bzw. Norbert M. Säumel

ZAHLENTHEORIE

Das Sieb des Eratosthenes
Sonntag, 20.05.2012, 13:37 Uhr
Ein Student möchte die Stufenzahl einer Rolltreppe bestimmen.
Dazu geht er zunächst die Rolltreppe in Fahrtrichtung entlang und zählt dabei insgesamt 90 Stufen.
Anschließend geht er die Rolltreppe entgegen der Fahrtrichtung entlang und hat dabei insgesamt 60 Stufen zu bewältigen.
Wie viele Stufen sind zu steigen, wenn die Rolltreppe still steht ?
Bezeichnet man mit x die gesuchte Stufenzahl der Rolltreppe, mit v1 (v2) die Geschwindigkeit der Rolltreppe (des Studenten) und mit t1 (t2) die jeweiligen Gehgeschwindigkeiten des Studenten, so gilt für den
Gesamtweg in Fahrtrichtung

x + v1t1 = 90
bzw.
(x/90) + (v1/90)t1 = 90
sowie
90 = v2t1
bzw.
t1 = (90/v2)
und damit
(x/90) + (v1/v2) = 1

und für den
Gesamtweg entgegen der Fahrtrichtung

x + v2t2 = 60
bzw.
(x/60) + (v1/60)t2 = 90
sowie
60 = v2t2
bzw.
t2 = (60/v2)
und damit
(x/60) - (v1/v2) = 1

Aus diesen beiden Gleichungen erhält man z.B. mit Hilfe des Additionsverfahrens für x den Wert 72.
Es sind also bei stehender Rolltreppe insgesamt 72 Stufen zu bewältigen.
Zusätzlich kann auch das Verhältnis der beiden Geschwindigkeit v1 : v2 = 3 : 4 berechnet werden.

Noch interessanter ist jedoch die Verallgemeinerung dieses Denksport-Klassikers:
Zählt man nämlich in Fahrtrichtung genau a Stufen und entgegen der Fahrtrichtung genau b Stufen, so erhält man das lineare Gleichungssystem

(x/a) + (v1/v2) = 1
(x/b) + (v1/v2) = 1

Dieses liefert für x den Wert 2ab/(a + b), d.h. die Stufenzahl der stehenden Rolltreppe entspricht gerade dem harmonischen Mittelwert der beiden Werte a und b.
  
 
© 2006-12 by NMS - Norbert M. Säumel
Req: 51040
IP: 38.107.179.223