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Gemeinsam mit seinem Dackel strebt ein
Oberförster nach erfolgreicher Pirsch dem heimatlichen Forsthaus zu. Exakt 270
Meter vor dem Haus lässt er seinen Dackel von der Leine, welcher freudig bellend
auf die in der Tür des Forsthauses stehende Förstersfrau zustürmt. Dort
angekommen, kehrt er, in seiner Zuneigung zu Herrchen und Frauchen hin- und
hergerissen, sofort wieder um und eilt nun dem Förster entgegen, springt an ihm
hoch und rast zur Förstersfrau zurück. Dieses Schauspiel wiederholt sich
solange, bis der Förster seine Frau unter der Eingangstür in seine Arme
schließt.
Wie viele Meter hat der Dackel insgesamt zurückgelegt, wenn er während
der gesamten Laufzeit mit einer doppelt so hohen Geschwindigkeit wie sein
Herrchen gelaufen ist ?
Mit dieser Aufgabe macht man im allgemeinen eine
sehr interessante Erfahrung. Je mehr die Leute, denen man sie vorlegt, von
Mathematik verstehen, desto umständlicher ist ihr Lösungsweg.
Die meisten
überschätzen die Aufgabe und versuchen nicht selten folgenden Lösungsweg: 270
Meter vor dem Forsthaus lässt der Förster seinen Hund frei. Beide laufen in
dieselbe Richtung. Während der Hund die 270 Meter bis zum Haus zurücklegt, kommt
der Förster diesem um 135 Meter näher.
Jetzt kehrt der Dackel um und läuft dem
Förster entgegen. Da der Hund doppelt so schnell wie der Förster läuft, muss die
zwischen den beiden liegende Strecke von 135 Meter in drei gleich lange
Streckenabschnitte geteilt werden. Jeder dieser drei Streckenabschnitte ist 45
Meter lang. Einen dieser drei Abschnitte legt der Förster zurück, zwei der Hund.
Die beiden treffen sich daher 90 Meter vom Forsthaus wieder.
Nun laufen beide wieder in die gleiche Richtung. Während der Hund die
90 Meter zum Haus zurücklegt, kommt der Förster dem Haus um die Hälfte dieser Strecke (45 Meter)
näher. Wenn der Hund am Forsthaus angelangt ist, ist der Förster noch 45 Meter von
seinem Forsthaus entfernt.
Nun laufen sich die beiden wieder entgegen. Erneut
muss die Strecke zwischen dem Hund und dem Förster in drei gleich lange
Abschnitte unterteilt werden, wobei jetzt jeder dieser drei Abschnitte genau 15
Meter lang ist.
Da der Hund doppelt so schnell wie der Förster unterwegs ist,
liegt der neue Treffpunkt von Hund und Förster genau 30 Meter vom Forsthaus
entfernt.
Dieser Prozess geht immer weiter und weiter und genau genommen bricht
das Hin- und Hergelaufe des Dackels eigentlich nicht ab.
Mathematisch gesehen
handelt es sich bei diesem Problem um eine Summe aus unendlich vielen, ständig
kleiner werdenden Summanden, wobei jene Streckenlängen, die der Hund vom Förster
zum Forsthaus zurücklegt, eine geometrische Reihe mit dem Anfangswert 270 und
dem Quotienten (1/3) und jene Streckenlängen, die der Hund vom Forsthaus zum
Förster zurücklegt, eine geometrische Reihe mit dem Anfangswert 90 und dem
Quotienten (1/3) darstellt.
Somit ergibt sich: Der Hund legt zum Forsthaus eine
Gesamtlänge von
405 Meter und zum Förster eine Gesamtlänge von 135 Meter und
damit eine Gesamtlänge von 540 Meter zurück.
Der mathematische Normalverbraucher
kommt schon deshalb nicht auf diesen Lösungsweg, da er einerseits nicht in der
Lage ist, derart scharfsinnige Überlegungen anzustellen, und er andererseits
kaum etwas mit Summen aus unendlich vielen Summanden anzufangen weiß.
Er geht
meist unbefangener an die Problemstellung heran und denkt sich: Wenn der Hund
doppelt so schnell läuft wie der Förster, so legt er in der gleichen Zeit auch
einen doppelt so langen Weg (Stichwort: s = v.t) zurück.
Wenn also der Förster
bis zum Eintreffen im Forsthaus 270 Meter zurücklegt, so hat der Hund in dieser
Zeit eine doppelt so lange Strecke, also 540 Meter zurückgelegt. Und wenn man
diesen (einfachen) Lösungsweg klugen Leuten zeigt, so müssen sie eingestehen,
dass sie diesmal den sprichwörtlichen Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen
haben.
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