Unter dem Mittelwert (Durchschnittswert) zweier oder mehrerer Zahlen versteht man im allgemeinen das arithmetische Mittel aus allen zu berücksichtigenden Zahlenwerten. Dabei wird die Summe aller Einzelwerte durch die Gesamtzahl der Werte dividiert.
Verdienen also etwa drei Angestellte eines Unternehmens pro Monat
€ 1.200,--, € 1.800,-- und € 2.100,--, so erhält man als Mittel- (Durchschnitts-)wert einen monatlichen Bezug von € 1.700,--.
Liegt jedoch das Gehalt von fünf Arbeiter[innen] dieses Unternehmens jeweils (oder auch durchschnittlich) bei € 945,-- und jenes von vier Angestellten bei jeweils (oder durchschnittlich) bei € 1.350,--, so muss für die Berechnung eines durchschnittlichen Monatsgehaltes aller (fünf plus vier gleich neun) Arbeitnehmer[innen] das Verhältnis der beiden Gruppen
Arbeiter[innen] : Angestellte = 5 : 4
berücksichtigt werden.
Das Ergebnis € 1.125,-- erfolgt daher in diesem Fall durch die
Bildung des gewogenen arithmetischen Mittels.
Eine weitere Anwendung des gewogenen arithmetischen Mittelwertes
ergibt sich bei folgender Problemstellung:
In einem Betrieb beträgt das durchschnittliche Gehalt der Männer pro Monat € 1.600,-- und jenes der Frauen € 1.100,--.
Wie hoch ist der Prozentsatz der männlichen bzw. weiblichen Angestellten, wenn das "mittlere" Einkommen aller Angestellten dieses Betriebes bei € 1.450,-- liegt ?
Hier ist neben der Anwendung des gewogenen arithmetischen Mittels auch folgender Lösungsweg denkbar:
Der Gesamtdurchschnittswert 1450 teilt den Wertebereich [1100; 1600] im Verhältnis 7 : 3, weshalb der Anteil der männlichen Angestellten bei 70 % und jener der weiblichen Angestellten bei 30 % liegen muss.
Ist der Durchschnittswert von zwei oder mehreren relativen Größen (also prozentuellen Änderungsraten) zu berechnen, so wird das geometrische Mittel verwendet.
Kann ein Unternehmen seine jährliche Absatzzahl nach einem Jahr um 4 %, nach einem weiterem Jahr um 12 % und nach einem weiteren Jahr um 23 % steigern, so beträgt das durchschnittliche Wachstum der Absatzzahlen (übrigens: unabhängig von der Reihenfolge der einzelnen Steigerungsraten) nicht 11 %, sondern rund 10,86 %.
Zum Schluss sei noch auf das harmonische Mittel zweier oder mehrerer Zahlen, welches bei indirekt proportionalen Größen (z.B. Geschwindigkeit und Zeit einer nicht beschleunigten Bewegung) hingewiesen:
Ein Radfahrer, der einen Berg mit 20 km/h hinauf- und mit 60 km/h hinabfährt, erreicht "nur" eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 30 km/h.
Die Ursache für die Abweichung vom (vielleicht intuitiven) "Durchschnittswert" 40 km/h liegt in den unterschiedlichen Fahrzeiten, mit denen der Radfahrer den Berg hinauf- bzw. hinabfährt.
Allgemein kann die Abweichung des harmonischen Mittelwertes vom arithmetischen Mittelwert wie folgt beschrieben werden:
Wird eine Hälfte eines Weges mit der Geschwindigkeit v + x und die andere Hälfte mit der Geschwindigkeit v - x gefahren, so weicht die durchschnittliche Geschwindigkeit (v2 - x2)/v vom arithmetischen Mittelwert v um den Betrag x2/v ab.
Dies bedeutet, dass ein Radfahrer, der mit einer Geschwindigkeit von
v = 30 km/h die erste Hälfte eines Weges mit einem Rückenwind von
x = 42 km/h und die zweite eines Weges mit einem Gegenwind von
x = 42 km/h fährt, eine um 1 km/h geringere Durchschnittsgeschwindigkeit besitzt.
Die unterstützende Wirkung des Rückenwindes und die hemmende Wirkung des Gegenwindes heben sich also nicht auf.
Je größer die Differenz der beiden Geschwindigkeiten v - x und v + x ist, desto stärker ist die Abweichung der durchschnittlichen Geschwindigkeit (des harmonischen Mittelwertes) vom arithmetischen Mittelwert.
Dies bedeutet in der Praxis:
Man sollte anstelle häufig wechselnder Tempi nach Möglichkeit mit konstanter Geschwindigkeit fahren.
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